Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓O上的點．

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：AB是圓O的直徑，PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，

C是圓O上的點，由直徑對的圓周角等于90°，可得BC⊥AC．

再由AC∩PA=A，利用直線和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC

（2）解：若Q為PA的中點，G為△AOC的重心，連接OG并延長交AC于點M，

連接QM，則由重心的性質可得M為AC的中點．

故OM是△ABC的中位線，QM是△PAC的中位線，故有OM∥BC，QM∥PC．

而OM和QM是平面OQM內的兩條相交直線，AC和BC是平面PBC內的兩條相交直線，故平面OQM∥平面PBC．

又QG平面OQM，∴QG∥平面PBC

【解析】（1）由PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，由直徑對的圓周角等于90°，可得BC⊥AC，根據直線和平面垂直的判定定理可得結論．（2）連接OG并延長交AC于點M，則由重心的性質可得M為AC的中點．利用三角形的中位線性質，證明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，從而證明QG∥平面PBC
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．