Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，其中a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求證：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒（x）=lnx-ax+1的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，再結(jié)合a的符號(hào)，由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1，x=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，lnx-x+1≤0，即當(dāng)x＞0時(shí)，lnx≤x-1．由此入手能夠證明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx-ax+1的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

；令f'（x）＜0，解得x＞

1

a

．
故當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

a

，+∞)．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，lnx-x+1≤0，即當(dāng)x＞0時(shí)，lnx≤x-1．
因?yàn)閚∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，所以

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，即

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，
所以

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

[(1-

1

22

)+(1-

1

32

)++(1-

1

n2

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．