【題目】已知實數
滿足：有且僅有一個正方形，其四個頂點均在曲線
上.試求這個正方形的面積.
【答案】
【解析】
由于曲線
關于原點對稱，所以該正方形的中心必過原點（否則，將這個正方形關于原點作對稱又得到一個頂點均在曲線上的正方形）.
設正方形的一個頂點為
，則
、
、
是其他三個頂點.令
的斜率分別為
，則由
，得
， （1）
并且（由于
在曲線上）有
， （2）
（3）
由（2）、（3）得
. （4）
結合（1）得
（5）
這說明方程
（6）
有解
.并且對（6）的任一解
，結合（1）可求出（均為實數，因為）.再由（2）定出
，它們滿足（3）的第一個等式，由（5）有
.
從而，（3）的第二個等式也成立.
確定的四點
構成曲線上的正方形.
因為已知曲線上只有一個正方形，所以方程（6）只有兩個相同的解.
由
，得
.
由（2）、（3）得
.
故
.從而
.
則正方形的邊長
.
即正方形的面積
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】企業需為員工繳納社會保險，繳費標準是根據職工本人上一年度月平均工資（單位：元）的
繳納，
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 270 | 330 | 390 | 460 | 550 |
某企業員工甲在2014年至2018年各年中每月所撒納的養老保險數額y（單位：元）與年份序號t的統計如下表：
（1）求出t關于t的線性回歸方程
；
（2）試預測2019年該員工的月平均工資為多少元？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
（注：
，
，其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC是腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.
(1)試在平面BCD內作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；
(2)求三棱錐E－ABC的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（）
A. “
，若
，則
且
”是真命題
B. 在同一坐標系中，函數
與
的圖象關于
軸對稱．
C. 命題“
，使得
”的否定是“
，都有
”
D. 
，“
”是“
”的充分不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對數函數g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指數函數f（x）=ax（a＞0，a≠1）互為反函數．已知函數f（x）=3x，其反函數為y=g（x）．
（Ⅰ）若函數g（kx2+2x+1）的定義域為R，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；
（Ⅲ）定義在I上的函數F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數F（x）是I上的有界函數，其中M為函數F（x）的上界．若函數h（x）=
，當m≠0時，探求函數h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面給出三個游戲，袋子中分別裝有若干只有顏色不同的小球（大小，形狀，質量等均一樣），從袋中無放回地取球，則其中不公平的游戲是______.
游戲1 | 游戲2 | 游戲3 | |
球數 | 3個黑球和一個白球 | 一個黑球和一個白球 | 2個黑球和2個白球 |
取法 | 取1個球，再取1個球 | 取1個球 | 取1個球，再取1個球 |
勝利 規則 | 取出的兩個球同色→甲勝 | 取出的球是黑球→甲勝 | 取出的兩個球同色→甲勝 |
取出的兩個球不同色→乙勝 | 取出的球是白球→乙勝 | 取出的兩個球不同色→乙勝 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個袋中有4個大小相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現從袋中有放回地取球，每次隨機取一個，求
（1）連續取兩次都是白球的概率；
（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，連續取三次分數之和為4分的概率.（本小題基本事件總數較多不要求列舉，但是所求事件含的基本事件要列舉）
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