Question

【題目】對數函數g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指數函數f（x）=ax（a＞0，a≠1）互為反函數．已知函數f（x）=3x，其反函數為y=g（x）．

（Ⅰ）若函數g（kx2+2x+1）的定義域為R，求實數k的取值范圍；

（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定義在I上的函數F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數F（x）是I上的有界函數，其中M為函數F（x）的上界．若函數h（x）=，當m≠0時，探求函數h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）因為g（x）=1ogax與f（x）=3x，互為反函數，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定義域為R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范圍；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化簡得x1x2=1，4x1+x2=4x1+，利用雙勾函數求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+，分m＞0和m＜0分別求出h（x）的取值范圍，然后討論其上下界.

（Ⅰ）由題意得g（x）=log3x，

因為g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定義域為R，

所以kx2+2x+1＞0恒成立，

當k=0時不滿足條件，

當k≠0時，若不等式恒成立，

則，即，

解得k＞1；

（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，

因為0＜x1＜x2，

所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，

所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，

所以x1x2=1，

所以則4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，

因為函數y=4x+在（0，）上單調遞減，在（，1）上單調遞增，

所以當x1=時，4x1+x2取得最小值為4．

（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），

（i）當m＞0，1+m3x＞1，則h（x）在[0，1]上單調遞減，

所以≤h（x）≤，

①若||≥||，即m∈（0，]時，存在上界M，M∈[||，+∞），

②若||＜||，即m∈（，+∞）時，存在上界M，M∈[||，+∞），

（ii）當m＜0時，

①若－＜m＜0時，h（x）在[0，1]上單調遞增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），

②若m=－時，h（x）=－1+在[0，1]上單調遞增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．

③若－1＜m＜－時，h（x）在[0，log3（－））上單調遞增，h（x）在（log3（－），1]上單調遞增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，

④若m=－1，h（x）=－1+在（0，1]上單調遞增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界

⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上單調遞增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；

綜上所述，當m＜－1時，存在上界M，M∈[||，+∞），

當－1≤m≤－時，不存在上界，

當－＜m＜0時，存在上界M，M∈[，+∞），

當m∈（0，]時，存在上界M，M∈[||，+∞），

當m∈（，+∞）時，存在上界M，M∈[||，+∞）．