Question

已知a是實數，函數f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5），由函數y=f（x）在區間[-1，1]上不單調，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]內存在零點，由此進行分類討論，能夠求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5），
∵函數y=f（x）在區間[-1，1]上不單調，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]內存在零點，
①當a=0時，f′（x）=2x-5 顯然不成立；
②存在一個零點，則f′（-1）•f′（1）＜0，
∴（4a-2-a-5）（4a+2-a-5）＜0，
即（3a-7）（3a-3）＜0，
解得1＜a＜

7

3

．
③存在兩個零點，
當a＞0時，
則需滿足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≥0 f′(1)=4a+2-(a+5)≥0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＞

7

3

．
當a＜0時，
則需滿足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≤0 f′(1)=4a+2-(a+5)≤0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＜-

5

2

-

6

，或-

5

2

+

6

＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-

5

2

-

6

）∪（-

5

2

+

6

，0）∪（

7

3

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查解不等式，解題時要注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．