Question

已知a是實數，函數f（x）=2ax²+2x-3-a
（1）若f（x）≤0在R上恒成立，求a的取值范圍．
（2）若函數y=f（x）在區間[-1，1]上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）討論a 是否為0，當a≠0時，利用二次函數恒小于0，即開口向下，△＜0即可解決；
（2）討論a 是否為0，當a≠0時，考慮△=0的情況以及在[-1，1]上具有單調性用零點定理解決．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=2x-3≤0在R上不可能恒成立，不合題意，∴a≠0（2分）
當a≠0時，必需

2a＜0 △=4+8a(a+3)≤0

，解得

-3- 7

2

≤a≤

-3+ 7

2

（5分）
綜上，a的取值范圍為[

-3- 7

2

，

-3+ 7

2

]（6分）
（2）①當a=0時，f（x）=2x-3，顯然在[-1，1]上沒有零點，所以a≠0．（8分）
②當a≠0時，1°△=4+8a（3+a）=8a²+24a+4=0且-

2

2×2a

∈[-1，1]，解得a=

-3- 7

2

（11分）
    2°f（-1）•f（1）=（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5（13分）
綜上，a的取值范圍為[1，5]∪{

-3- 7

2

}（14分）

點評：本題考查二次函數與方程之間的關系，二次函數在給定區間上的零點問題，要注意函數圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．