Question

已知a是實數，函數f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切點，而切線的斜率等于f'（1）=3，寫出切線方程即可；
（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三個區間討論f'（x）的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-2ax．因為f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又當a=0時，f（1）=1，f'（1）=3，則切點坐標（1，1），斜率為3
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=3（x-1）化簡得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=

2a

3

．
當

2a

3

≤0，即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調遞增，從而f_max=f（2）=8-4a．
當

2a

3

≥2時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調遞減，從而f_max=f（0）=0．
當0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

2a

3

]上單調遞減，在[

2a

3

，2]上單調遞增，從而fmax=

8-4a，0＜a≤2. 0，2＜a＜3.

綜上所述，fmax=

8-4a，a≤2. 0，a＞2.

點評：本題主要考查導數的基本性質、導數的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．