Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明函數是增函數；

（2）是否存在實數，使得只有唯一的正數，當時恒有：，若這樣的實數存在，試求、的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實數，只有唯一值滿足題意.

【解析】

（1）求出函數的導數，構造函數，利用導數證明出，可得出，從而證明出函數是增函數；

（2）取得出，由可得出，構造函數，由得出，然后分和兩種情況討論，結合結合已知條件得出和的值.

（1），.

令，則，

因此，函數為增函數，，

故，因此，函數是增函數；

（2）取，可知.

.

令，，

由于.

①當時，

時，，函數在區間上為減函數，

時，，函數在區間上為增函數，

，

令，因此存在唯一的正數，使得，

故只能.

，，

時，，函數在區間上為減函數，

時，，函數在區間上為增函數，

，此時只有唯一值.

②當時，，則函數為增函數，

，解得，故.

（i）給定時，滿足的不唯一；

（ii）時，滿足的只能.

但時滿足且，因此時，值也不唯一.

綜上，存在實數，只有唯一值，當時，恒有：.