Question

【題目】已知函數.

（1）求在區間上的最大值；

（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求，令，求出極值點，極值和區間端點的函數值，即求最大值；

（2）設出切點，寫出切線方程，把點的坐標代入切線方程，得.設，則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.求，判斷的單調性，即可求解.

（1）由得.

令，得或.

因為，

所以在區間上的最大值為.

（2）設過點的直線與曲線相切于點，

則，且切線斜率為，

所以切線方程為，

因此，

整理得.

設，

則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.

.

當變化時，與的變化情況如下：

		0		1
	+	0	-	0	+

所以，是的極大值，

是的極小值.

當，即時，

在區間和上分別至多有1個零點，

以至多有2個零點.

當，即時，

在區間和上分別至多有1個零點，

所以至多有2個零點.

當且，即時，

因為，

所以分別在區間和上恰有1個零點.

由于在區間和上單調，

所以分別在區間和上恰有1個零點.

綜上可知，當過點存在3條直線與曲線相切時，的取值范圍是.