Question

如圖，過圓x²+y²=4與x軸的兩個交點A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點，設AD、BC的交點為R，
(1)求動點R的軌跡E的方程；
(2)過曲線E的右焦點F作直線l交曲線E于M、N兩點，交y軸于P點，且記=λ₁，=λ₂，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：(1)設點H的坐標為(x₀，y₀)，則x+y=4，
由題意可知y₀≠0，且以H為切點的圓的切線的斜率為：-，
故切線方程為：y-y₀=-(x-x₀)，
展開得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²=4，
即以H為切點的圓的切線方程為：x₀x+y₀y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
將x=±2代入上述方程可得點C，D的坐標分別為C(-2，)，D(2，)，
則l_AD：，①，
及l_BC：，②
將兩式相乘并化簡可得動點R的軌跡E的方程為：x²+4y²=4，即+y²=1。
(2)由(1)知軌跡E為焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F(，0)，
(ⅰ)當直線l的斜率為0時，M、N、P三點在x軸上，
不妨設M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此時有|PM|=2，|MF|=2-，|PN|=2，|NF|=2+，
所以λ₁+λ₂=；
(ⅱ)當直線l的斜率不為0時，設直線MN的方程是：x=my+(m≠0)，
則點P的坐標為(0，-)，
且設點M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
聯立消去x可得：(m²+4)y²+2my-1=0，
則y₁+y₂=，y₁y₂=，
λ₁+λ₂==-8(定值)．