Question

（2011•臨沂二模）如圖，過圓x²+y²=4與x軸的兩個交點A、B作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD與C、D兩點，設AD、BC的交點為R．
（I）求動點R的軌跡E的方程；
（II）設E的上頂點為M，直線l交曲線E于P、Q兩點，問：是否存在這樣的直線l，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）因為動點R為動直線直線AD、BC的交點，所以可用消參法求R的軌跡方程．先設點H（x₀，y₀），求出A，B，C，D四點坐標，則可得到含參數x₀，y₀的直線AD，BC方程，再消去參數，即可得到求動點R的軌跡E的方程．
（II）假設存在直線l交曲線E于P、Q兩點，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心．則MG為△PQM在邊PQ上的高線所在直線，MG⊥PQ，又因為kMG=-1，所以k_PQ=1，這樣，就可設出直線MQ的方程為y=x+m，與曲線E的方程聯立，消y，得到關于x的一元二次方程，求兩根之和，兩根之積．又因為點G（1，0）恰為△PQM的垂心，所以MP⊥GQ，∴

MP

•

EQ

=0，得到含x₁，x₂的方程，根據前面所求的x₁+x₂，x₁x₂，就可求m的值，如能求出，則m存在，否則，m不存在

解答：解：（I）則x₀²+y₀²=4，
由題意可知，y₀≠0，且以H為切點的圓的切線斜率為：-

x0

y0

故切線方程為：y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），
展開得，x₀x+y₀y=x₀²+y₀²即以H為切點的圓的方程為x₀x+y₀y=4
∵A（-2，0），B（2，0）將x=±2代入上述方程可得點C，D坐標分別為C（-2，

4+2x0

y0

）D（2，

4-2x0

y0

）
則l_AD：

y

4-2x0 y0

=

x+2

4

，l_BC：

y

4+2x0 y0

=

x-2

-4

兩式相乘，可消x₀，y₀，
化簡得動點R的軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1
（II）假設存在直線l交曲線E于P、Q兩點，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心．
設P（x₁，y₁），Q（x₁，y₂）∵M（0，1），G（1，0），MG⊥PQ，∴k_PQ=1
設直線l為y=x+m，與曲線E的方程聯立，消y，得5x²+8mx+4m²-4=0
由△=（8m）²-4×5（4m²-4）＞0得-

5

＜m＜

5

x₁+x₂=

8

5

m，x₁x₂=

4

5

（m²-1）
又∵MP⊥GQ，∴

MP

•

EQ

=0
∴x₁（x₂-1）+y₁（y₂-1）=0
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=，0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
∴

8

5

（m²-1）-

8

5

m（m-1）+m²-m=0即5m2-3m-8=0
解得m=1或m=-

8

5

檢驗：當m=1時，l過M點，構不成三角形，舍去．當m=-

8

5

時，符合條件
故直線l的方程為y=x-

8

5

點評：本題考查了消參法求動點軌跡方程，以及直線與橢圓位置關系的判斷，計算量較大，應認真計算．