Question

如圖，過圓x²+y²=4與x軸的兩個交點A，B，作圓的切線AC，BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC，BD于C，D兩點，設AD，BC的交點為R，
(Ⅰ)求動點R的軌跡E的方程；
(Ⅱ)過曲線E的右焦點作直線l交曲線E于M，N兩點，交y軸于P點，且記，求證：λ₁+λ₂為定值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設點H的坐標為，則，
由題意，可知，且以H為切點的圓的切線的斜率為，
故切線方程為，
展開得，
即以H為切點的圓的切線方程為，
∵，將x=±2代入上述方程可得點C，D的坐標分別為，
則， ①
及，②
將兩式相乘并化簡可得動點R的軌跡E的方程為，即。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，軌跡E為焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為，
(ⅰ)當直線l斜率為0時，M，N，P三點在x軸上，不妨設，且，
此時有，，
所以，。
(ⅱ)當斜率不為0時，設直線MN的方程為，
則點P的坐標為，
且設點，
聯立，消去x，得，
則，

（定值）。