Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，其中a為實(shí)數(shù)．

（1）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在a＜1時(shí)，是否存在m＞1，使得對(duì)任意的x∈（1，m）,恒有f（x）+a＞0，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）在a＜1時(shí)，存在m＞1，使得對(duì)任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。理由見(jiàn)解析。

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并分a≤0和a＞0兩種情況討論。可求出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）將a＜1分為a≤0和兩種情況進(jìn)行討論即可。

（1）∵f（x）=lnx﹣ax，

∴ ，

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，

函數(shù)f(x)在定義域（0，+∞）遞增；無(wú)減區(qū)間

當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，則x= ，

當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)。

（2）在a＜1時(shí)，存在m＞1，使得對(duì)任意的x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。

理由如下：

由（1）得

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在（1，m）遞增，

，

，

即f（x）+a＞0。

綜上可得：在a＜1時(shí)，存在m＞1，使得對(duì)任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。