Question

【題目】若f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且滿足 ．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若f（2）=1，解不等式 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1可得f（1）=f（1）﹣f（1）=0
（2）解：設(shè)x1＞x2＞0，

則f（x1）﹣f（x2）=f（ ），

∵x1＞x2＞0，∴ ＞1，∴f（ ）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：∵f（2）=1，∴f（ ）=f（1）﹣f（2）=﹣1，

∴f（4）=f（2）﹣f（ ）=2，

∵ ，

∴f（x2+3x）＜f（4）．

∴ ，

解得0＜x＜1．

∴不等式 的解集是（0，1）

【解析】（1）將1看作是本小題的關(guān)鍵，在很多解題中1與0都起到了很重要的作用；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及抽象函數(shù)的特點(diǎn)解題；（3）利用前兩小題的結(jié)論先求出函數(shù)值為2的自變量，再利用其單調(diào)性列出第一個(gè)不等式，第二與第三個(gè)不等式是根據(jù)函數(shù)的定義域列出的.