Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點．

（1）求證：AC1∥平面CDB1
（2）求證：AC⊥BC1
（3）求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖：

設BC1∩B1C=O，則O為BC1的中點，連接OD，

∵D為AB的中點，∴OD∥AC1，

又∵OD平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（2）證明：∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又∵C1C∥AA1，AA1⊥底面ABC，∴C1C⊥底面ABC，∴AC⊥CC1．

又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

而BC1平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．

（3）證明：由（2）得AC⊥平面B1BCC1，

∴直線B1C是斜線AB1在平面B1BCC1上的射影，

∴∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角，

在RT△AB1C中，B1C=4 ，AC=3，

∴tan∠AB1C= = ，

直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值為 ．

【解析】（1）設BC1∩B1C=O，由三角形的中位線性質可得OD∥AC1 ， 從而利用線面平行的判定定理證明AC1∥平面CDB1 ， （2）利用勾股定理證明AC⊥BC，證明C1C⊥底面ABC，可得AC⊥CC1 ， 由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC1B1 ， 從而證得AC⊥BC1 ． （3）得到∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角，解三角形即可．