Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC側面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．

（1）若PB中點為E．求證：AE∥平面PCD；
（2）若∠PAB=60°，求直線BD與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取PC的中點F，連結DF，EF；

∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE為平行四邊形；

∴AE∥DF，且AE平面PCD，DF平面PCD；

∴AE∥平面PCD

（2）解：∵∠PAB=60°，PA=AB；

∴△PAB為等邊三角形，取AB中點O，連接PO；

則PO⊥AB；

又側面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；

∴PO⊥平面ABCD；

根據已知條件可求得PO= ，S△BCD=4，PD=CD= ，PC=2 ， ；

設點B到平面PCD的距離為h；

∴ ， ；

∵VP﹣BCD=VB﹣PCD；

∴ ；

∴直線BD與平面PCD所成角θ的正弦值

【解析】（1）取PC中點F，并連接DF，FE，根據已知條件容易說明四邊形ADFE為平行四邊形，從而有AE∥DF，根據線面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）設B到平面PCD的距離為h，從而直線BD與平面PCD所成角的正弦值便可表示為 ，BD根據已知條件容易求出，而求h可通過VP﹣BCD=VB﹣PCD求出：取AB中點O，連接PO，可以說明PO⊥平面ABCD，而根據已知條件能夠求出S△BCD ， S△PCD ， 從而求出h，從而求得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．