Question

如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.
（1）證明PA//平面BDE；              
（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分
B（2，2，0）   
設是平面BDE的一個法向量，
則由                 ………………4分
∵   …………5分
（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，又是平面DEC的一個法向量.                                      ………………7分
設二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值為                                                   ………………10分
（3）∵
∴
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設，
則，
由                             ………………13分
∴                                                    ………………14分
即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF           ………………15分
用幾何法證明酌情給分