Question

在平面直角坐標系中，點P（x，y）滿足約束條件：．
（1）在給定的坐標系中畫出滿足約束條件的可行域 （用陰影表示，并注明邊界的交點）；
（2）設，求u的取值范圍；
（3）已知兩點M（2，1），O（0，0），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線定出區域的邊界，不等式確定區域，由約束條件畫出可行域；
（2），利用u的幾何意義求最值，只需求出何時可行域內的點與點（-4，-7）連線的斜率的最值，從而得到 u的取值范圍．
（3）先根據向量的數量積公式得出=2x+y，設z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y經過點A時，z取到最大值，從而得到答案即可．
解答：解：（1）由得，∴A（4，1）…（1分）
由得，∴B（-1，-6）…（2分）
由得，∴C（-3，2）…（3分）
畫出可行域N，如右下圖所示…（4分）

（2）．…（5分）
當直線DP與直線DB重合時，傾斜角最小且為銳角，此時；   …（6分）
當直線DP與直線DC重合時，傾斜角最大且為銳角，此時k_DC=9；  …..（7分）
所以的取值范圍為．…（8分）
（3），…..（10分）
設z=2x+y，則y=-2x+z，…..…（11分）z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，…（12分）
當直線y=-2x+z經過點A時，z取到最大值，…（13分）
這時z的最大值為z_max=2×4+1=9．…．（14分）
點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．