Question

（2009•嘉定區二模）圖1所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖．圖2是它的主視圖和左視圖（單位：cm）．
（1）在主視圖下面按照三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照圖2給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在圖1中連接B₁C，求異面直線EF和B₁C所成角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）根據幾何體的結構特征與它的正（主）視圖和側（左）視圖可得其側視圖．
（2）由題意可得：所求多面體體積V=V_長方體-V_{正三棱錐，}
（3）在AB上取一點G，使AG=1（BG=4），連接B₁G，CG，則∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其補角）就是異面直線EF和B₁C所成的角．在△CB₁G中 求解即可．

解答：解：（1）


注：正確作出圖形得（3分），作錯不給分．
（2）V=5×4×3-

1

3

×

1

2

×2×2×2=60-

4

3

=

176

3

（cm³），
所以，該多面體的體積為

176

3

cm³．…（8分）
（3）由已知，∠B₁FE=135°，在AB上取一點G，使AG=1（BG=4），連接B₁G，CG，則∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其補角）就是異面直線EF和B₁C所成的角．…（10分）
在△CB₁G中，B1G=4

2

，B₁C=GC=5，所以cos∠CB1G=

2 2

5

．…（13分）
所以異面直線EF和B₁C所成角的大小為arccos

2 2

5

．…（14分）

點評：本題考查該多面體的三視圖，多面體的體積的計算，異面直線所成角的大小計算，考查化歸與轉化（不規則幾何體轉化為規則幾何體求體積、空間角轉化為平面角）的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．