Question

【題目】已知拋物線與直線交于不同兩點(diǎn)分別過點(diǎn)、點(diǎn)作拋物線的切線，所得的兩條切線相交于點(diǎn).

(Ⅰ)求證為定值:

(Ⅱ)求的面積的最小值及此時(shí)的直線的方程.

Answer 1

【答案】（I）見解析.

（Ⅱ）有最小值為，此時(shí)直線方程為.

【解析】分析：(Ⅰ)消得，方程的兩個根為，根據(jù)韋達(dá)定理以及點(diǎn)在拋物線上，，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式可得結(jié)論；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)求斜率可得即，同理，聯(lián)立切線方程，由 ，而故有，，即點(diǎn)，利用弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式可得，利用單調(diào)性可得結(jié)果.

詳解：設(shè)

消得，方程的兩個根為，

恒成立，， 在拋物線上，，

(Ⅰ)，為定值.

(Ⅱ) 即，，，

即，同理 由 得，而

故有，，即點(diǎn)，

點(diǎn)到直線的距離

即時(shí)有最小值為，此時(shí)直線方程為.