Question

【題目】已知某四面體的六條棱長(zhǎng)分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為（ ）

A. 0B. C. 0或D. 以上都不對(duì)

Answer 1

【答案】B

【解析】

當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當(dāng)它們是四面體相鄰的棱時(shí)，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．

①當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，

如圖，

取CD中點(diǎn)E，則

∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，

AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線

∴CD⊥平面ABE，結(jié)合AB平面ABE，可得AB⊥CD

此時(shí)兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為cos90°＝0，

檢驗(yàn)：此時(shí)△ABE中，AE＝BE，不滿足AE+BE＞AB，

故此種情況舍去；

②當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相鄰的棱時(shí)，如圖

設(shè)所成的角為θ，根據(jù)余弦定理得cosθ

綜上所述，得所求余弦值為

故選B.