Question

【題目】已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其內接正方形的面積為4．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設M為橢圓C的右頂點，過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率可以得到的關系，結合，可知的關系，

由對稱性可得，可求橢圓內接正方形位于第一象限頂點的坐標，代入橢圓方程中，求出的值。

（Ⅱ）設了直線方程，與橢圓方程聯立，得到一個一元二次方程，求出k1k2的表達式，利用一元二次方程根與系數的關系，對表達式進行化簡求值。

解：（Ⅰ）∵e==，

∴a=c，即a2=2b2，①，

由對稱性可得，橢圓內接正方形位于第一象限頂點的坐標為（x0，y0），

∴4x02=4，x0=1，

∴+=1，②，

由①②解得a=，b=，

∴橢圓C的標準方程為+=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（，0），依題意得直線l的斜率存在，設其方程為y=k（x-3），

設P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1，x2≠），聯立方程，消去y并整理可得

∴x1+x2=，x1x2=，

∴k1k2======1，

∴k1k2=1