Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，，M是線段AE上的動點．

（1）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）所求二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連結交于，連結，先證是的中點，再證，進而可證平面；（Ⅱ）先將幾何體補成三棱柱，再計算平面將幾何體分成的兩部分的體積，進而可得平面將幾何體分成的兩部分的體積之比．

試題解析：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC//平面MDF，證明如下：

連結CE交DF于N，連結MN，由于M、N分別是AE、CE的中點，所以MN//AC

所以AC//平面MDF

（Ⅱ）如圖，將幾何體ADE－BCF補成三棱柱ADE－，

三棱柱ADE－的體積為△ADE·CD=

則幾何體ADE－BCF的體積

又 三棱錐F－DEM的體積

∴ 兩部份的體積之比為：（）=（答案：1：4，4，4：1均可）