【題目】太極圖被稱為“中華第一圖”．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚太極魚”．已知
或
，下列命題中：①
在平面直角坐標系中表示的區域的面積為
；②
，使得
；③
，都有
成立；④設點
，則
的取值范圍是
．其中真命題的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
集合A表示的圖形，分別分析選項，得到正確答案，
①根據圖象，直接求判斷集合A的面積是圓面積的一半；
②轉化為兩圓是否相交問題；
③設
，
，表示斜率為
的直線，
表示縱截距，轉化為線性規劃問題；
④變形為
，先求
的范圍，最后求
的范圍.
①如圖，根據對稱性可知，集合
表示的面積占圓面積的一半，
，故①不正確；
②
，整理為
，以
為圓心，
的圓，與
的圓的圓心距
，可知兩圓相交，有2個交點，所以
，使得，故②正確；
③設，，表示斜率為的直線，表示縱截距，如圖，當直線與圓相切時，取得最大值，此時圓心到直線的距離
，解得
或
，如圖，舍去，所以
的最大值是
，如圖，當直線與
相切時，取得最小值，圓心到直線的距離
，
，如圖舍去
，所以的最小值是
，所以
，都有
成立，③正確；
④，
設表示可行域內的點與點
連線的斜率，
設
，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離
，解得
，如圖可知
，
當直線過點
時，斜率
，其他滿足條件的直線夾在這兩直線之間，所以
，
，
，故④不正確.
故只有②③正確.
故選：B
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【題目】已知橢圓
：
，長半軸長與短半軸長的差為
，離心率為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若在
軸上存在點
，過點的直線
分別與橢圓相交于
、
兩點，且
為定值，求點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某避暑山莊擬對一個半徑為1百米的圓形地塊（如圖）進行改造，擬在該地塊上修建一個等腰梯形
，其中
，
，圓心
在梯形內部，設
.當該游泳池的面積與周長之比最大時為“最佳游泳池”.
（1）求梯形游泳池的面積
關于
的函數關系式，并指明定義域；
（2）求當該游泳池為“最佳游泳池”時
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司租用一個門店作展館，準備對其公司生產的某型產品進行為期一年的展出。為此，需對門店進行裝修，展出結束，門店不再使用，現市面上有某品牌的
型和
型兩種節能燈，假定型節能燈使用壽命都超過
小時，經銷商對型節能燈使用壽命進行了調查統計，得到如下頻率分布直方圖：
門店裝修時，需安裝該品牌節能燈
支（同種型號）.經了解，型
瓦和B型
瓦的兩種節能燈照明效果相當，都適合安裝。已知型和型節能燈每支的價格分別為
元、
元，當地商業電價為
元/千瓦時。假定該店面一年周轉期的照明時間為
小時，若正常營業期間燈壞了立即購買同型燈管更換。（用頻率估計概率）
（1）根據頻率直方圖估算B型節能燈的平均使用壽命；
（2）根據統計知識，若一支燈管一年內需要更換的概率為
，那么支燈管一年內估計需要更換
支.若該商家新店面全部安裝型節能燈，試估計一年內需更換的支數；
（3）若只考慮燈的成本和消耗電費，你認為該商家應選擇哪種型號的節能燈，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年的政府工作報告強調，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強生態環境保護.某地科技園積極檢查督導園區內企業的環保落實情況，并計劃采取激勵措施引導企業主動落實環保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業2012年至2017年在環保方面投入金額（單位：萬元）的柱狀圖.
（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年在環保方面投入金額的平均數；（結果保留整數）
（Ⅱ）園區管委會為盡快落實環保措施，計劃對企業進行一定的獎勵，提出了如下方案：若企業一年的環保投入金額不超過200萬元，則該年不獎勵；若企業一年的環保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎勵20萬元；若企業一年的環保投入金額超過300萬元，則該年獎勵50萬元.
（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年獲得的獎勵之和；
（ⅱ）現從甲企業這六年中任取兩年對其環保情況作進一步調查，求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年的政府工作報告強調，要樹立綠水青山就是金山銀山理念，以前所未有的決心和力度加強生態環境保護.某地科技園積極檢查督導園區內企業的環保落實情況，并計劃采取激勵措施引導企業主動落實環保措施，下圖給出的是甲、乙兩企業2012年至2017年在環保方面投入金額（單位：萬元）的柱狀圖.
（Ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年在環保方面投入金額的平均數；（結果保留整數）
（Ⅱ）園區管委會為盡快落實環保措施，計劃對企業進行一定的獎勵，提出了如下方案：若企業一年的環保投入金額不超過200萬元，則該年不獎勵；若企業一年的環保投入金額超過200萬元，不超過300萬元，則該年獎勵20萬元；若企業一年的環保投入金額超過300萬元，則該年獎勵50萬元.
（ⅰ）分別求出甲、乙兩企業這六年獲得的獎勵之和；
（ⅱ）現從甲企業這六年中任取兩年對其環保情況作進一步調查，求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
: 
的長軸長為4，左、右頂點分別為
，經過點
的直線與橢圓相交于不同的兩點
（不與點重合）.
（Ⅰ）當
，且直線
軸時， 求四邊形
的面積；
（Ⅱ）設
，直線
與直線
相交于點
，求證：
三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD成60°的角；
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結論的序號是________
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