Question

【題目】如圖，五面體中，，平面平面，平面平面.，，點P是線段上靠近A的三等分點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意，分別取，的中點M，N，連接，，，.

由題可知，.設，則，由平面平面，得平面，同理平面.，從而.，則平面；由，所以，所以是以為斜邊的等腰直角三角形，再由，，得到.則平面.，再由面面平行的判斷定理得到平面平面，從而得證。

（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，得到，.求得平面的一個法向量，再求得的坐標，利用線面角的向量法求解。

（Ⅰ）

如圖，分別取，的中點M，N，連接，，，.

由題可知，.設，

易知，且.

因為平面平面，

所以平面.同理平面.

所以.

因為平面，平面，

故平面.

因為，，

所以.

因為，

所以，

所以是以為斜邊的等腰直角三角形，

所以，而，則.

因為平面，平面，

所以平面.

因為，

所以平面平面.

因為平面，所以平面.

（Ⅱ）

如圖，連接，以P為原點，，所在直線分別為x軸，y軸，以過點P且垂直于平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，

則，，，，，

所以，.

設為平面的一個法向量，

則即

取，則，，即.

易知.

設直線與平面所成的角為.

故，

即直線與平面所成角的正弦值為.