Question

【題目】如圖所示的幾何體中，為直三棱柱，四邊形為平行四邊形，， .

（1）若，證明：四點共面，且；

（2）若，二面角的余弦值為，求直線與平面所成角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據三棱柱的性質及平行四邊形性質,可證明四邊形為平行四邊形,則四點共面;由和可得四邊形為正方形, 連接交于.在中由余弦定理可得,進而可知,則可證明平面,從而.

（2）結合（1）,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,用表示出平面和平面的法向量,利用二面角的余弦值為求得的值.由的值可判斷出平面,所以在正方形中即可求得直線與平面所成角的大小.

（1）證明：因為為直三棱柱,

所以∥,且,

又因為四邊形為平行四邊形,

所以∥,且,

所以∥,且,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,,,四點共面；

因為,又平面,

所以,所以四邊形為正方形,

連接交于,如下圖所示:

所以,在中,,

在中由余弦定理得,

所以,所以,

所以,又,

所以平面,所以,

又因為,所以平面；

所以

（2）由（1）知,可建立如下圖所示的空間直角直角坐標系:

則,,

,,,

,

設平面的法向量為,

由即,令,可得

設平面的法向量為

由得令,可得,

由

得,因為,所以

此時,,所以四邊形為正方形,

因為,,

又因為,所以平面,

所以與平面所成角為