Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

令，得出，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)與的大小進(jìn)行分類(lèi)討論，利用數(shù)形結(jié)合思想得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式或不等式，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

令，則，得，令，

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有且僅有個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的圖象與直線只有個(gè)公共點(diǎn)，

則，如下圖所示，

顯然成立，下面解不等式，即，

構(gòu)造函數(shù)，，，令，得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得最大值，即，

所以，當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的圖象與直線有個(gè)交點(diǎn)，則有，

即，由上可知，（舍去）.

綜上所述，.

故答案為：.