Question

【題目】如圖，已知離心率為 的橢圓 過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線i交橢圓C于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記直線MB、MA與x軸的交點分別為P、Q，若MP斜率為k1 ， MQ斜率為k2 ， 求k1+k2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為： ．

由題意得： ，

把①代入②得：a2=4b2④．

聯立③④得：a2=8，b2=2．

∴橢圓方程為

（2）解：∵M（2，1），∴kOM=

又∵直線l∥OM，可設l：y= x+m，將式子代入橢圓C得：x2+4（ x+m）2﹣8=0，

整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．

設直線MA、MB的斜率分別為k1、k2，則k1= ，k2= ．

事實上，k1+k2= +

= =1+m（ + ）

=1+m

=1+m

=1﹣

=0．

k1+k2的值為0

【解析】（1）由給出的橢圓的離心率、橢圓過定點M（2，1）及隱含條件a2=b2+c2列方程組可求a2 ， b2 ， 則橢圓方程可求；（2）設出直線l的方程，設出A，B兩點的坐標，把直線和橢圓聯立后可求A，B兩點的橫坐標的和與積，把直線MA，MB的斜率k1、k2分別用A，B兩點的坐標表示，把縱坐標轉化為橫坐標后，則k1+k2僅含A，B兩點的橫坐標的和與積，化簡整理即可得到結論．