Question

【題目】某企業共有20條生產線，由于受生產能力和技術水平等因素的影響，會產生一定量的次品.根據經驗知道，每臺機器產生的次品數萬件與每臺機器的日產量萬件之間滿足關系： .已知每生產1萬件合格的產品可以以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元.

（Ⅰ）試將該企業每天生產這種產品所獲得的利潤表示為的函數；

（Ⅱ）當每臺機器的日產量為多少時，該企業的利潤最大，最大為多少？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,利潤最大，最大為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用利潤盈利虧損，得到與的關系，再將代入整理即可求出與之間的函數關系；（Ⅱ）對（Ⅰ）中解析式求導，利用單調性，找到取最大值時的值，求出最大利潤.

試題解析：（Ⅰ）根據題意，該企業所得利潤為：

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

.

令，可得或.

從而當時， ，函數在上為增函數；

當時， ，函數在上為減函數

所以當時函數取得極大值即為最大值，

當時， ，

所以每臺機器的日產量為萬件時，該企業的利潤最大，最大利潤為（萬元）.