Question

【題目】如圖，橢圓M： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求 的最大值及取得最大值時m的值．

Answer 1

【答案】解：（I） …①
矩形ABCD面積為8，即2a2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓M的標準方程是 ．
（II） ，
由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得 ．
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ，
．
當l過A點時，m=1，當l過C點時，m=﹣1．
①當 時，有 ， ，
其中t=m+3，由此知當 ，即 時， 取得最大值 ．
②由對稱性，可知若 ，則當 時， 取得最大值 ．
③當﹣1≤m≤1時， ， ，
由此知，當m=0時， 取得最大值 ．
綜上可知，當 或m=0時， 取得最大值
【解析】（Ⅰ）通過橢圓的離心率，矩形的面積公式，直接求出a，b，然后求橢圓M的標準方程；（Ⅱ） 通過 ，利用韋達定理求出|PQ|的表達式，通過判別式推出的m的范圍，①當 時，求出 取得最大值 ．利用由對稱性，推出 ， 取得最大值 ．③當﹣1≤m≤1時， 取得最大值 ．求 的最大值及取得最大值時m的值．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．