Question

【題目】設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足，記點的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，斜率為的直線與曲線交于不同的兩點，，且滿足，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設點，，則，根據可得再由點在圓上，將代入化簡即可.

（2）當時，顯然滿足題意，當時，設：，與橢圓聯立方程組可得，由題意，即，①設，，得到的中點的坐標，根據，則有，即，可得，②，將②代入①求解即可.

（1）設點，，則，

故，，

由可得，

因為點在圓上，所以，

所以，

即曲線的方程為．

（2）當時，顯然滿足題意，當時，設：，

聯立方程組可得，即，

由題意，即，①

設，，

由根與系數的關系可得：，，

則的中點，

又因為，所以，

所以，即，

化簡可得，②

將②代入①可得，化簡可得，

解得，綜上可得的取值范圍是．