Question

【題目】橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知點在橢圓上，利用橢圓的定義可求得值，結合的值可求得的值，進而可求得橢圓的標準方程；

（2）設、，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由得出，結合韋達定理求得的值，再由三角形的面積公式可求得的面積.

（1）依題意有，橢圓的焦點坐標為，且點在橢圓上，

由橢圓的定義可得，

即，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設、，由，得．

由題意直線的斜率存在，所以設直線的方程為，

代入橢圓方程整理，得，

所以，．

將代入上式可得，，解得．

所以的面積.