Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，(其中)是上的一點(diǎn)，且.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知為拋物線上除頂點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，的斜率分別為，，，求證：，，成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義可得，由在拋物線列出方程，聯(lián)立解方程組即可求出；

(2) 設(shè)點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)處切線的斜率，再由點(diǎn)斜式可求出切線的方程，令，可得，從而可設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立方程組消去可得，設(shè)，利用根與系數(shù)關(guān)系可得，再將用，表示并化簡(jiǎn)可得，而，從而可證出，，成等比數(shù)列.

(1)由題意，得，解得，或，

又，所以，所以拋物線的方程為.

(2)由題意，得直線的斜率存在，且不為0.

由，得，則，設(shè)點(diǎn)，則切線的斜率為，

于是切線的方程為，即，所以.

設(shè)直線的方程為，代入，

消去并整理，得，

由直線交拋物線于兩點(diǎn)，得.

設(shè)，所以，

又,，所以，，

所以，又，

所以，故成等比數(shù)列.