Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（x﹣1）ex ．
（1）當a=﹣ 時，求f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）當﹣ ＜a＜﹣ 時，f（x）是否存在極值？若存在，求所有極值的和的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= 時，f（x）= x2+（x﹣1）ex，

∴f（1）= ，

f′（x）=﹣（e+1）x+xex，∴f′（1）=﹣1

切線方程為：y+ =﹣（x﹣1），

即：2x+2y+e﹣1=0

（2）解：f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a）

①當2a≥0即a≥0時，f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

②當﹣ ＜a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上單調遞增，

在（ln（﹣2a），0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

③當a=﹣ 時，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增；

④當a＜﹣ 時，f（x）在（﹣∞，0））上單調遞增，

在（0，ln（﹣2a））上單調遞減，在（ln（﹣2a），+∞）上單調遞增

（3）解：由（2）知，當﹣ ＜a＜﹣ ＜0時，

f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上單調遞增，在（ln（﹣2a），0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

∴x1=ln（﹣2a）為極大值點，x2=0為極小值點，所有極值的和即為f（x1）+f（x2），

f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） ﹣1

∵x1=ln（﹣2a），∴a=﹣ ，

∴f（x1）+f（x2）=﹣ x12+（x1﹣1） ﹣1= （﹣ x12+x1﹣1）﹣1

∵﹣ ＜a＜﹣ ，∴ ＜﹣2a＜1，∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0，

令（x）=ex （﹣ x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）

∴′（x）=ex （﹣ x2）＜0∴（x）在（﹣1，0）單調遞減

∴（0）＜（x）＜（﹣1）

即﹣2＜（x）＜﹣ ﹣1

∴所有極值的和的取值范圍為（﹣2，﹣ ）

【解析】（1）當a= 時，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xex ， 利用導數的幾何意義能出f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程．（2）f′（x）=2ax+xex=x（ex+2a），由此根據a≥0，﹣ ＜a＜0，a=﹣ ，a＜﹣ ，利用導數性質能討論f（x）的單調性．（3）推導出x1=ln（﹣2a）為極大值點，x2=0為極小值點，所有極值的和即為f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1） ﹣1，由此利用導性質能求出所有極值的和的取值范圍．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．