Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+1（x∈R），（a，b為實數）．
（1）若f（1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，若關于x方程|f（x+1）﹣1|=m|x﹣1|只有一個實數解，求實數m的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，求函數h（x）=2f（x+1）+x|x﹣m|+2m最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：顯然a≠0∵f（1）=0∴a+b+1=0

∵x∈R，且f（x）的值域為[0，+∞）

∴△=b2﹣4a=0

由

（2）解：方程|f（x+1）﹣1|=g（x），即|x2﹣1|=m|x﹣1|，變形得|x﹣1|（|x+1|﹣m）=0，

顯然，x=1已是該方程的根，…（6分）

欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m，有且僅有一個等于1的解或無解，

解得m＜0

（3）解：①當x≥m時，h（x）=3x2﹣mx+2m

（I）如果m≥0， ；

（II）如果m＜0， ；

②當x≤m時，f（x）=x2+mx+2m

（I）如果m≥0，

（II）如果m＜0，

由于2m2+2m﹣

所以

【解析】（1）利用f（1）=0得到a+b+1=0，f（x）的值域為[0，+∞），推出△=b2﹣4a=0，求出a，b，即可得到函數的解析式．（2）方程|f（x+1）﹣1|=g（x），化為|x﹣1|（|x+1|﹣m）=0，原方程只有一解，即方程|x+1|=m，有且僅有一個等于1的解或無解，求解即可．（3）①當x≥m時，h（x）=3x2﹣mx+2m，通過m≥0，m＜0，求出最小值，②當x≤m時，f（x）=x2+mx+2m
通過m≥0，m＜0，求出最小值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．