Question

【題目】設f（x）=loga（1+x）+loga（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域．
（2）求f（x）在區間[0， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=loga（1+x）+loga（3﹣x），

∴f（1）=loga2+loga2=loga4=2，∴a=2；

又∵ ，∴x∈（﹣1，3），

∴f（x）的定義域為（﹣1，3）

（2）解：∵f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2[（1+x）（3﹣x）]=log2[﹣（x﹣1）2+4]，

∴當x∈（﹣1，1]時，f（x）是增函數；

當x∈（1，3）時，f（x）是減函數，

∴f（x）在[0， ]上的最大值是f（1）=log24=2；

又∵f（0）=log23，f（ ）=log2 =﹣2+log215，

∴f（0）＜f（ ）；

∴f（x）在[0， ]上的最小值是f（0）=log23；

∴f（x）在區間[0， ]上的值域是[log23，2]

【解析】（1）由f（1）=2求得a的值，由對數的真數大于0求得f（x）的定義域；（2）判定f（x）在（﹣1，3）上的增減性，求出f（x）在[0， ]上的最值，即得值域．
【考點精析】本題主要考查了函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．