Question

【題目】為了讓幼兒園大班的小朋友嘗試以客體區分左手和右手，左肩和右肩，在游戲中提高細致戲察和辨別能力，同時能大膽地表達自己的想法，體驗與同伴游戲的快樂，某位教師設計了一個名為（肩手左右）的游戲，方案如下：

游戲準備：

選取甲、乙兩位小朋友面朝同一方向并排坐下進行游戲．教師站在兩位小朋友面前出示游戲卡片．游戲卡片為兩張白色紙板，一張紙板正反兩面都打印有相同的”左“字，另一張紙板正反兩面打印有相同的“右”字．

游戲進行：

一輪游戲（一輪游戲包含多次游戲直至決出勝者）開始后，教師站在參加游戲的甲、乙兩位小朋友面前出示游戲卡片并大聲報出出示的卡片上的“左”或者“右”字．兩位小朋友如果聽到“左”的指令，或者看到教師出示寫有“左”字的卡片就應當將左手放至右肩上并大聲喊出“停!”．小朋友如果聽到“右”的指令，或者看到教師出示寫有“右”字的卡片就應當將右手放至左肩上并大聲喊出“停!”．最先完成指令動作的小朋友喊出“停!”時，兩位小朋友都應當停止動作，教師根據兩位小朋友的動作完成情況進行評分，至此游戲完成一次．

游戲評價：

為了方便描述問題，約定：對于每次游戲，若甲小朋友正確完成了指令動作且乙小朋友未完成則甲得1分，乙得﹣1分；若乙小朋友正確完成了指令動作且甲小朋友未完成則甲得﹣1分，乙得1分；若甲，乙兩位小朋友都正確完成或都未正確完成指令動作，則兩位小朋友均得0分．當兩位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分數多8分時，就停止本輪游戲，并判定得分高的小朋友獲勝．現假設“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的概率為α，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的概率為β”，一次游戲中甲小朋友的得分記為X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲小朋友、乙小朋友在一輪游戲開始時都賦予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲小朋友的當前累計得分為i時，本輪游戲甲小朋友最終獲勝”的概率，則P0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假設α＝0.5，β＝0.8．

①證明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）為等比數列；

②求p4，并根據p4的值說明這種游戲方案是否能夠充分驗證“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的概率為0.5，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的率為0.8”的假設．

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析（2）①證明見解析，②p4＝，不能夠

【解析】

（1）先求出的所有可能取值，再用表示出取各個值時的概率，即可得X的分布列.

（2）①由（1）得的值，再利用等比數列的定義，證明數列{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）為等比數列；②利用①的結論，將用表示，再根據，可求出，從而得的值，即可驗證假設.

（1）的所有可能取值為，

，

，

，

所以X的分布列為：

（2）① 由（1）得，，

因此，故，

即，

又因為，

所以{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）為公比為，首項為等比數列.

② 由①可得

，

由于，故，

所以

，

表示最終甲獲勝的概率，由計算結果可以看出，“甲小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的概率為0.5，乙小朋友能正確完成一次游戲中的指令動作的率為0.8”，甲能獲勝的概率為，此時得出錯誤的結論的概率非常小，故能充分驗證這個方案的假設.