Question

【題目】某大型工廠有6臺大型機器，在1個月中，1臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺機器的能力（若有2臺機器同時出現故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺維修，對工廠的正常運行沒有任何影響），每臺機器不出現故障或出現故障時能及時得到維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.

（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時，有工人進行維修（例如：3臺大型機器出現故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；

（2）已知該廠現有2名維修工人.

（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數學期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘1名維修工人？

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）見解析；（ⅱ）是.

【解析】

（1）由該工廠只有1名維修工人，所以要使工廠能正常運行，最多只能出現2臺大型機器出現故障．利用二項分布計算公式即可得出．
（2）X的可能取值為34，46，58．利用二項分布列的計算公式即可得出概率分布列．

（1）因為該廠只有1名維修工人，

所以要使工廠正常運行，最多只能出現2臺大型機器出現故障，

故該工廠能正常運行的概率為.

（2）（ⅰ）的可能取值為34，46，58，

，

，

，

則的分布列為

故.

（ⅱ）若該廠有3名維修工人，則該廠獲利的數學期望為萬元.

因為，所以該廠應再招聘1名維修工人.