Question

【題目】如圖，在直角梯形SABC中，∠B=∠C= ，D為邊SC上的點，且AD⊥SC，現將△SAD沿AD折起到達PAD的位置（折起后點S記為P），并使得PA⊥AB．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中點，當線段PB取得最小值時，則在平面PBC上是否存在點F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD，

∵PD⊥AD，AD∩AB=A，

∴PD⊥平面ABCD

（2）解：設PD=x，則AD=x，DC=6﹣2x，

∴PB2=x2+x2+（6﹣2x）2=6（x﹣2）2+12，當且僅當x=2時，PB2取得最小值，

即PB取得最小值，

取PC的中點M，PB的中點N，

則DM⊥平面PBC，

∵四邊形DMNG是平行四邊形，

∴GN∥DM，

GN⊥平面PBC，

∴在平面PBC上存在點F，即PB的中點，使FG⊥平面PBC．

【解析】（1）根據線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面ABCD；（2）根據線面垂直的判定定理以及直線平行的性質進行證明即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．