Question

【題目】若函數的圖像與曲線恰好有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用絕對值的幾何意義，由y＝|x|﹣1可得，x≥0時，y＝x﹣1；x＜0時，y＝﹣x﹣1，確定函數y＝|x|﹣1的圖象與方程x2+λy2＝1的曲線必相交于（±1，0），為了使函數y＝|x|﹣1的圖象與方程x2+λy2＝1的曲線恰好有兩個不同的公共點，則兩曲線無其它交點．y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0，分類討論，可得結論，根據對稱性，同理可得x＜0時的情形．

由y＝|x|﹣1可得，x≥0時，y＝x﹣1；x＜0時，y＝﹣x﹣1，

∴函數y＝|x|﹣1的圖象與方程x2+λy2＝1的曲線必相交于（±1，0）

所以為了使函數y＝|x|﹣1的圖象與方程x2+λy2＝1的曲線恰好有兩個不同的公共點，則

y＝x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2﹣2λx+λ﹣1＝0

當λ＝﹣1時，x＝1滿足題意，

由于△＞0，1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；

y＝﹣x﹣1代入方程x2+λy2＝1，整理可得（1+λ）x2+2λx+λ﹣1＝0

當λ＝﹣1時，x＝﹣1滿足題意，

由于△＞0，﹣1是方程的根，∴0，即﹣1＜λ＜1時，方程兩根異號，滿足題意；

綜上知，實數λ的取值范圍是[﹣1，1）

故選：A．