Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，，四邊形是菱形，.

（1）求證：；

（2）若平面平面，，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）

【解析】

（1）要證轉證平面即證

（2）以射線，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，計算兩個半平面的法向量，代入公式，即可得到結果.

（1）證明：取的中點，連接，，.

∵，

∴.

∵是菱形，，

∴，.

∴是正三角形.

∴.

∵平面，平面，，

∴平面.

∵平面，

∴.

（2）解：∵，，

∴是以為底的等腰直角三角形.

∵，

∴.

∴.

∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

再由（1）得，，兩兩互相垂直.

分別以射線，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，可得，，，，

∴，.

設平面的一個法向量為，則.

取，得，所以是平面的一個法向量.

同理可得平面的一個法向量.

∴.

∴二面角的正弦值為.