【題目】已知圓
，直線
， 
.
（1）求證：對
，直線
與圓
總有兩個不同的交點
；
（2）求弦
的中點
的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；
（3）是否存在實數
，使得原
上有四點到直線
的距離為
？若存在，求出
的范圍；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）M的軌跡方程是
，它是一個以
為圓心，以
為半徑的圓；（3）
或
.
【解析】【試題分析】（1）依據題設可以運用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點分析判斷；（2）借助題設條件運用圓心與弦中點的連線與直線垂直建立方程求解；（3）依據題設借助圖形的直觀，運用圓心距與直線的位置和數量關系建立不等式：
（1）圓
的圓心為
，半徑為
，所以圓心C到直線
的距離
．
所以直線
與圓C相交，即直線
與圓
總有兩個不同的交點；
或：直線
的方程可化為
，無論m怎么變化，直線
過定點
，由于
，所以點
是圓C內一點，故直線
與圓
總有兩個不同的交點．
（2）設中點為
，因為直線
恒過定點
，
當直線
的斜率存在時， 
，又
， 
，
所以
，化簡得
．
當直線
的斜率不存在時，中點
也滿足上述方程．
所以M的軌跡方程是
，它是一個以
為圓心，以
為半徑的圓．
(3) 假設存在直線
，使得圓上有四點到直線
的距離為
，由于圓心
，半徑為
，則圓心
到直線
的距離為
化簡得
，解得
或
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知底角為45的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為
，當一條垂直于底邊BC
（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線l把梯形分成兩部分，令BF=x
（1）試寫出直線l左邊部分的面積f（x）與x的函數．
（2）已知A={x|f(x)<4},B={x|a2<x<a+2}，若A∪B=B，求a的取值范圍。．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從高二年級學生中隨機抽取60名學生，將其期中考試的政治成績（均為整數）分成六段： 
， 
， 
，…
后得到如下頻率分布直方圖.
（1）根據頻率分布直方圖，估計該校高二年級學生期中考試政治成績的平均分、眾數、中位數；（小數點后保留一位有效數字）
（2）用分層抽樣的方法在各分數段的學生中抽取一個容量為20的樣本，則各分數段抽取的人數分別是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資
類產品的收益與投資額成正比，投資
類產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時
兩類產品的收益分別為0．125萬元和0．5萬元．
（1）分別寫出兩類產品的收益與投資額的函數關系；
（2）該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.
(1)求證：函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)對任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設cn＝an＋bn，求數列{cn}的前n項和．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f(x)是R上的偶函數，且當x>0時，函數的解析式為f(x)＝
.
(1)判斷并證明f(x)在(0，＋∞)上的單調性；
(2)求當x<0時，函數的解析式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新一屆班委會的7名成員有
、
、
三人是上一屆的成員，現對7名成員進行如下分工.
（Ⅰ）若正、副班長兩職只能由
、
、
三人選兩人擔任，則有多少種分工方案？
（Ⅱ）若
、
、
三人不能再擔任上一屆各自的職務，則有多少種分工方案？
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