Question

（本題滿分15分） 設函數，若在點處的切線斜率為．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）設，若對定義域內的恒成立，
（ⅰ）求實數的取值范圍；
（ⅱ）對任意的，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）見解析

解：（Ⅰ），依題意有：； ……2′
（Ⅱ）恒成立.
（ⅰ）恒成立即.  
恒成立，則.
當時，
，，則，g’(x)>0，g(x)單調遞增，當，g’(x)<0，g(x) 單調遞減，則，符合題意；
即恒成立，實數a的取值范圍為
；                            ……6′
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，實數a的取值范圍為.
方法一：令，考慮函數

則對任意的，成立．                ……7′
思路分析：第一問中利用，依題意有：
第二問，恒成立.
（ⅰ）恒成立即.恒成立，則.
當時，
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，實數a的取值范圍為.
方法一：令，考慮函數