Question

已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線C，直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點，且．
（1）求曲線C的方程；
（2）求直線AB的方程；
（3）若曲線C上存在一點D，使，求m的值及點D到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過已知條件，滿足雙曲線的定義，直接求出曲線C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直線與雙曲線聯立方程組，通過弦長公式求出直線的斜率，即可求直線AB的方程；
（3）求出A，B，利用，即可求m的值，利用點到直線的距離求解點D到直線AB的距離．
解答：解：（1）由雙曲線的定義可知曲線C是以為焦點的雙曲線的左半支
且，故b=1，
所以軌跡C的方程是x²-y²=1．（x＜0）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得方程組消去y得（1-k²）x²+4kx-5=0
又已知直線與曲線C交于A、B兩點，故有
解得
∵
=
∴
整理得，7k⁴-23k²-20=0
解得 （舍）
由k²=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直線AB的方程為y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由，解得
不妨設，
由，故有．
將D點坐標代入曲線C的方程，得．
解得，
但當時，點D在雙曲線右支上，不合題意，
∴
點D的坐標為，
D到線AB的距離為．
點評：本題考查雙曲線的定義的應用，弦長公式的應用，點到直線的距離公式，考查設而不求，考查計算能力．