Question

（21）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積S。

Answer 1

本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。

解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，

       且，易知

       故曲線的方程為

   設，由題意建立方程組

 消去，得

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

       解得

又∵

依題意得    整理后得

∴或  但   ∴

故直線的方程為

設，由已知，得

∴

又，

∴點

將點的坐標代入曲線的方程，得

得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意

∴，點坐標為

到的距離為    

∴的面積