Question

（18分）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使.

(1)求曲線的方程；

(2)求實數的值；

(3)求實數的值。

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為……6分

（2）設，由題意建立方程組，

消去，得，

又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有

 ，解得，                          ……10分

又∵

依題意得 ，整理后得 ，

∴或，但∴，                   ……14分

（3）設，由已知，得，

∴，

又，，

∴點曲線上，所以，

將點的坐標代入曲線的方程，得，

∴.                                                       ……18分

考點：本小題主要考查平面向量的坐標運算、直接法求雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系和弦長公式的應用等，考查學生對問題的理解能力和轉化能力以及較強的運算求解能力.

點評：圓錐曲線的綜合問題一般難度較大，主要是運算量較大，要注意“舍而不求”思想的應用.