Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G，
（1）求證：點F是BD中點；
（2）求證：CG是⊙O的切線；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由已知中CH⊥AB于點H，DB為圓的切線，我們易得到△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，進而根據三角形相似，對應邊成比例，根據E為CH中點，得到點F是BD中點；
（2）連接CB、OC，根據圓周定理的推論，我們易得在直角三角形BCD中CF=BF，進而求出∠OCF=90°，由切線的判定定理，得到CG是⊙O的切線；
（3）由由FC=FB=FE，易得FA=FG，且AB=BG，由切割線定理及勾股定理，我們可以求出AB的長，即圓的直徑，進而得到圓的半徑．

解答：解：
（1）證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，
∴

EH

BF

=

AE

AF

=

CE

FD

，
∵HE=EC，
∴BF=FD
（2）證明：連接CB、OC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°
∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°，
又∵OC為圓O半徑
∴CG是⊙O的切線．
（3）解：由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC，
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0，解之得：FG₁=6，FG₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4

2

，
∴⊙O半徑為2

2

．

點評：本題考查的知識點是圓的切線的判定定理的證明，相似三角形的性質及與圓有關的比例線段，其中根據已知線段與求知線段的位置關系，分析后選取恰當的定理進行解答是解答本題的關鍵．