Question

如圖，已知曲線C：（a＞0），曲線C與x軸相交于A、B兩點，直線l過點B且與x軸垂直，點S是直線l上異于點B的任意一點，線段SA與曲線C交于點T，線段TB與以線段SB為直徑的圓相交于點M．
（I）若點T與點M重合，求的值；
（II）若點O、M、S三點共線，求曲線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設T（x，y），S（a，y₁），由點A，T，S共線，確定直線方程，求得S的坐標，利用點T與點M重合時，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=-1，得a的值，再利用=AB²，即可求得結論；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，從而可得曲線C的方程．
解答：解：（I）設T（x，y），S（a，y₁），則，所以
由點A，T，S共線有：=，得：，即S（a，）
當點T與點M重合時，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=×=-1，得a=1．
∴=AB²=（2a）²=4；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴k_SO•k_BT=×=-1，∴a²=2
∴所求曲線C的方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定a的值，屬于中檔題．