Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（

π

6

+x）（x∈R）
（1）求f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）△ABC中，f（C）=1，且邊長c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：第（1）問求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先把函數(shù)化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，然后再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解；第（2）問根據(jù)f（C）=1求出角C，然后利用面積公式寫出面積表達式，結(jié)合余弦定理和基本不等式求三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx•sin（

π

6

+x）
=2cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=cos²x+

3

sinxcosx
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=-sin（2x+

π

6

）+

1

2

由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）
∵x∈[0，π]
所以函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[

π

6

，

2π

3

]．
（2）由f（C）=-sin（2C+

π

6

）+

1

2

=1得
sin（2c+

π

6

）=-

1

2

，解得C=

π

2

或C=

5π

6

∵S=

1

2

absinC
又∵cosC=

a2+b2-4

2ab

要使面積取到最大值，則C=

π

2

，
所以a²+b²=4，所以ab≤2，
所以S_max=

1

2

×2×1=1．

點評：本題考查了求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是利用三角恒等變換化成標準形式；求三角形面積的最大值，關(guān)鍵是選擇適當?shù)拿娣e公式結(jié)合正、余弦定理和基本不等式進行求解．