Question

【題目】設函數f（x）在R上存在導數f′（x），對任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）時，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】[，+∞）

【解析】

根據條件構造函數g（x）=f（x）-x2，判斷函數的奇偶性，利用導數研究函數的單調性，結合函數奇偶性和單調性將不等式進行轉化求解即可．

解：∵f（x）+f（-x）=x2，

∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，

設g（x）=f（x）-x2，

則g（x）是奇函數，

且g′（x）=f′（x）-x．

∵x∈（0，+∞）時，f′（x）＜x．

∴當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0．即此時g（x）為減函數，

∵g（x）是奇函數，

∴當x≤0時，g（x）也是減函數，

即g（x）在（-∞，+∞）上是減函數，

則若f（1-a）-f（a）≥-a，

等價為g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，

即g（1-a）≥g（a），

即1-a≤a，

得2a≥1，即a≥，

即實數a的取值范圍是[，+∞），

故答案為：[，+∞）